W pierwszych dekadach XX w. jedynymi znanymi oddziaływaniami były : grawitacja (opisywana od 1916 r przez OTW) oraz elektromagnetyzm (opisywany przez teorię Maxwella). Próby unifikacji obu tych oddziaływań czynione były już przed rokiem 1920 i później. Sam Einstein był mocno w nie zaangażowany. W roku 1919 T. Kaluza przedstawił pracę, w której zwrócił uwagę na pewne podobieństwo pomiędzy symbolami Christoffela (występującymi w formalizmie matematycznym OTW)

Obydwie formuły byłyby niemal takie same gdyby znikał trzeci człon w formule (1a). Aby to uzyskać, Kaluza - a w następnych pracach także O. Klein - wprowadzili piąty wymiar czasoprzestrzenny, x⁵ , i rozszerzyli tensor metryczny g_mn o dodatkowe składowe - piąty wiersz i kolumnę - wiążąc je ze składowymi 4-potencjału pola elektromagnetycznego A_i w następujący sposób:

Parametr l potrzebny jest ze względu na uzgodnienie wymiarów. Składowe tensora metrycznego są bezwymiarowe zaś potencjały A_i mają wymiar a więc l musi mieć wymiar . Jego wartość liczbowa może być np. l=1 ale jak zobaczymy dalej, wygodniej będzie wybrać ją w innej postaci.

Przyjęto także dodatkowe założenie, że żadne składowe tensora metrycznego nie zależą od piątej współrzędnej x⁵ czyli . Wówczas z (1a) i (1b) mamy:

Jednocześnie dla wyznaczników zachodzi .

Mając tensor metryczny (6) oraz symbole Christoffela (1a) i (4) można - według znanych z formalizmu OTW formuł - policzyć tensor krzywizny , tensor Ricci’ego oraz skalar krzywizny . Jak wiadomo z konwencjonalnej OTW (z 4-wymiarową czasoprzestrzenią) istnieje taki lagranżjan L_g oraz działanie S_g , z których przy pomocy formalizmu Lagrange’a otrzymać można równania Einsteina - a ściślej - ich geometryczną stronę zawartą w tensorze Einsteina . Działanie to ma postać:

Kaluza i Klein zbudowali analogiczną wielkość dla 5-wymiarowej geometrii obliczając wielkość . Okazuje się, że nowy skalar krzywizny ma postać

Jak wiadomo z elektrodynamiki wielkość to lagranżjan (gęstość energii) pola elektromagnetycznego. W takim razie na wartość parametru l trzeba przyjąć (ma to wymiar odwrotności siły).

Skorzystamy teraz z wcześniejszego założenia, że składowe (a więc i całe wyrażenie podcałkowe) nie zależą od współrzędnej x⁵ . Oznacza to, że przestrzeń w 5-tym wymiarze „zwinięta jest” jakby w cieniutką rurkę o obwodzie 2pl (gdzie l to promień owej „rurki”) i nie jest w zasadzie możliwy ruch ciał w tej współrzędnej.

Wówczas całkowanie po dx⁵ daje właśnie wartość 2pl . Musimy więc - aby wszystko pozostało we właściwej postaci - wyrażenie przed całką (9) podzielić przez 2pl . Tak więc całkowite działanie w 5-wymiarowej czasoprzestrzeni

jest sumą działania dla pola grawitacyjnego oraz pola elektromagnetycznego. Z zasady wariacyjnej dla takiego działania otrzymamy jednocześnie równania Einsteina oraz równania Maxwella. Wyglądało to na bardzo obiecujący krok w kierunku unifikacji oddziaływań grawitacyjnych i elektromagnetycznych.

W OTW cząstka swobodna w czasoprzestrzeni biegnie po geodezyjnej xⁱ = xⁱ(t) spełniającej układ równań

(gdzie indeksy M,N,L = 0, 1, 2, 3, 5 zaś to symbole Christoffela zbudowane z pochodnych g_MN ). Ponieważ w kierunku x⁵ przestrzeń jest zwinięta więc istotne są jedynie równania dla czterech współrzędnych xⁱ : , które rozpisuje się następująco

Zauważmy, że po prawej stronie (12a) mamy teraz nie zero lecz wyrażenie znane z relatywistycznego zapisu składowej siły Lorentza . Porównując to z (12a) widzimy, że należy przyjąć podstawienie

Jeszcze jedno uogólnienie - pole skalarne f w interwale 5-wymiarowym.

W dotychczasowych rozważaniach używano tensora metrycznego, w którym jako piąty wiersz i kolumna wstawiano 4-wektor -lA_i przyjmując jednocześnie g₅₅ = -1. Można jednak nieco ogólniej przyjąć g₅₅ = -lA₅ = f i traktować to jako pewne pole skalarne (bezmasowe) współistniejące z polem wektorowym A i spełniające równanie Kleina-Gordona pf=0. Interwał zapiszemy

czyli tensor metryczny będzie teraz

Dla wyznaczników będzie teraz spełniony związek . Działanie zaś będzie miało postać

Ponieważ współrzędna x⁵ jest „zwinięta w rurkę” zachodzi więc x⁵ = x⁵ +n2pl (n=0,1,2.....). Rozwińmy więc pole f na mody Fourierowskie

i wstawmy to do równania Kleina-Gordona (dla prostoty niech to będzie chwilowo w czasoprzestrzeni płaskiej o metryce diag{1, -1, -1, -1) i bez pola wektorowego A ). Wówczas operator D’Alamberta i r-nie falowe będzie

pf=0= (18)

Zauważymy , że wówczas każdy z modów f_n będzie spełniał równanie

a więc z punktu widzenia 4-wymiarowej czasoprzestrzeni nasze pole skalarne (każdy z jego modów) jest polem masowym o masie .Tylko dla modu zerowego (n=0) pole jest widoczne jako bezmasowe.

Jeśli teraz uwzględnimy istnienie pola wektorowego A (pozostawiając nadal dla prostoty płaską czasoprzestrzeń czyli ) to wówczas operator D’Alamberta będzie nieco bardziej rozbudowany:

p=

Działając tym operatorem na kolejne mody pola f otrzymamy równania

W rozdziale - „Opis oddziaływań przy pomocy pól cechowania” - (formuła 19 Przypisu 4) mieliśmy zdefiniowaną tzw. pochodną kowariantną pola F oddziałującego z polem wektorowym A w formie .

A więc ładunek dla n-tego modu będzie określony jako . Wszystkie one są wielokrotnością podstawowego ładunku e₁ który możemy utożsamić z ładunkiem elementarnym e (elektronu - dla n= -1 lub pozytonu dla n=+1). Pozwoli nam to oszacować promień zwinięcia ,l, piątego wymiaru x⁵ . Otrzymujemy wówczas Jest to ok. 60 długości planckowskich Jak widać stopień zwinięcia 5-go wymiaru jest rzeczywiście bardzo duży. Przy okazji zobaczyliśmy w jaki sposób oddziaływanie pola f z polem potencjałów A_j powoduje pojawienie się ładunku elektrycznego dla obserwatora w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni. Także masa kwantów pola f już w pierwszym modzie jest rzędu masy planckowskiej a kolejne mody są jej wielokrotnością.

W latach 30-tych i następnych koncepcje Kaluzy-Kleina poszły nieco w zapomnienie. Jednak pod koniec lat 60-tych, kiedy podejmowano próby zunifikowania grawitacji z pozostałymi trzema (znanymi już wówczas) oddziaływaniami wrócono do tej idei, zaś w latach 70-tych nastąpił jej prawdziwy renesans. Rozwijały się wówczas teorie Wielkiej Unifikacji (GUT’s) oparte na różnych grupach symetrii, np. SU(3)xSU(2)xU(1) lub SU(5) z użyciem teorii pól kompensujących (Yanga-Millsa) (patrz Przypis_4). Skoro jednak pole elektromagnetyczne - będące także przykładem pola kompensującego dla oddziaływań elektromagnetycznych - dało się tak obiecująco zintegrować z grawitacją poprzez wprowadzenie dodatkowego wymiaru, to narzucała się myśl, aby podobnego zabiegu spróbować także z oddziaływaniami słabymi oraz silnymi (kolorowymi) poprzez rozszerzenie koncepcji Kaluzy-Kleina polegające na wprowadzaniu dalszych dodatkowych (zwiniętych) wymiarów do geometrii czasoprzestrzeni. Oznacza to rozszerzenie tensora metrycznego o kolejne wiersze i kolumny zawierające kombinacje składowych pól oddziaływań oraz parametry i generatory odpowiadających im grup symetrii. Interwał można zapisać w jeszcze ogólniejszej postaci:

Indeksy i,j=0,1,2,3 odnoszą się (jak poprzednio) do zwykłych wymiarów czasoprzestrzennych, indeksy a,b=1,2... numerują ilość dodatkowych wymiarów przestrzennych zaś m,n indeksują ilość parametrów i generatorów grupy symetrii związanej z polami kompensującymi. Mamy więc teraz 4+d wymiarową czasoprzestrzeń, w której dodatkowe ‘d’ wymiarów jest zwiniętych do obwodu o promieniu rzędu długości planckowskiej. Wielkości zawierają w sobie generatory użytej grupy symetrii i spełniają związki komutacyjne

gdzie f^l_mn to stałe struktury grupy.

Pomimo problemów z renormalizacją otrzymanej w ten sposób teorii, uzyskane rezultaty wydawały się wielce obiecujące. Próbowano więc zrobić dalszy krok polegający na kolejnym rozszerzeniu tensora metrycznego o pola spinorowe (opisujące cząstki o spinie ułamkowym - a więc leptony i kwarki. Bardzo symbolicznie można taki supertensor metryczny zapisać w schematycznej formie:

Jednak w latach 80-tych zauważono nieusuwalność kilku poważnych mankamentów supergrawitacji (w tym m.in. problemu renormalizacji). Zainteresowanie fizyków zaczęło przesuwać się w stronę tzw. teorii superstrun, dla której supergrawitacja jest być może pewnym przybliżeniem stosowalnym przy względnie niskich gęstościach energii (małych w stosunku do gęstości planckowskich).

Powrot do strony LEPTONY, HADRONY KWARKI