W rozdziale podstawy OTW stwierdzono, że einsteinowskie równania pola to w ogólności dość skomplikowany układ 10 równań różniczkowych, w których niewiadomymi są składowe g_ij tensora metrycznego. Układ ten udało się analitycznie rozwiązać dla kilku prostych sytuacji, w tym dla przypadku przestrzeni jednorodnie wypełnionej materią o stałej gęstości r . Przypadek ten odpowiada właśnie kosmologii czyli opisowi własności i ewolucji Wszechświata jako całości.

Prawa strona równań Einsteina opisująca rozkład masy (energii) w przestrzeni - tzw. tensor energii-pędu T_ij - brana jest z mechaniki ośrodków ciągłych i ma w tym przypadku następującą postać:

(1)

gdzie r to średnia gęstość materii we Wszechświecie zaś p to jej ciśnienie (obecnie praktycznie zaniedbywalne).

Dla określenia lewej strony równań Einsteina startuje się z interwału czasoprzestrzennego w postaci:

(2)

(patrz uzasadnienie w rozdziale o interwałach w przestrzeni o różnej krzywiźnie).

Przypominamy, że R to tzw. czynnik skalujący odległości przestrzenne zaś k charakteryzuje typ krzywizny przestrzeni: k = 0 odpowiada przestrzeni euklidesowej, k = +1 przestrzeni o geometrii typu sferycznego zaś k = -1 geometrii typu hiperbolicznego.

Z formuły (2) mamy więc składowe g_ij w postaci: g₀₀ = 1, ,

g₂₂ = - R²r², g₃₃ = -R²r²sin²q. Podstawową naszą niewiadomą jest jawna postać zależności R(t). Lewa strona równań Einsteina to dość skomplikowane funkcje pochodnych tensora g_ij. Wstawiając tam zapisane powyżej wielkości na g_oo, g₁₁, g₂₂ , g₃₃ otrzyma się po dość długich przekształceniach układ dwóch równań w postaci:

(3)

(4)

(w dalszym ciągu będziemy używali przyjętego powszechnie skrótowego oznaczenia .

(4a)

Ponieważ jednak 4pR³/3 =V to wielkość o wymiarze objętości zaś rV = M ma wymiar masy więc (4a) można (po wymnożeniu stronami przez dowolną jednostkową masę m=1) zapisać:

(4b)

Równanie to przypomina formalnie znany z mechaniki klasycznej bilans energii kinetycznej i potencjalnej cząstki m w polu grawitacyjnym masy M, gdyż pierwszy z lewej wyraz w (4b) to jakby energia kinetyczna zaś drugi to energia potencjalna.

Skorzystamy też z prawa zachowania masy w ekspandującym obszarze o promieniu R, (warunek ciągłości):

rV = M = const lub rR³ = const lub:

(5)

gdzie indeks “0” odnosi się do dowolnej (np. obecnej) chwili t_o .

Rozpatrzmy teraz poszczególne przypadki rozwiązania równania (4a).

I. k = 0. (przestrzeń globalnie euklidesowa).

Tutaj prawa strona w (4a) równa się zero, po lewe zaś stronie wielkość r zastępujemy zależnością (5). Otrzymujemy proste równanie różniczkowe:

(6)

gdzie zawiera wszystkie wielkości stałe. Rozwiązanie równania (6) ma postać

(7)

(8)

(9)

(10)

Jest to tzw. “gęstość krytyczna” charakterystyczna właśnie dla wszechświata o geometrii euklidesowej. Dla gęstości r>r_c mamy bowiem przestrzeń o geometrii typu sferycznego z k = +1 zaś dla r<r_c przestrzeń ma geometrię hiperboliczną

(11)

(12)

(13)

gdzie h to bezwymiarowy parametr pomocniczy.

(14)

W chwili początkowej, dla h=0 i t=0 mamy R(0) = 0. (początkowa osobliwość).

Wartości h = p odpowiada maksymalna wartość czynnika R = R_max:

(15)

(16)

Następnie, dla 2p>h>p wielkość R(t) maleje (Wszechświat kurczy się) i osiąga znów osobliwość R = 0 dla h = 2p. (ilustruje to rysunek na końcu tego rozdziału).

(17)

(18)

Tu także dokonuje się podstawienia (lecz z sinusem hiperbolicznym):

(19)

(20)

Tu także w chwili początkowej h = 0 (oraz t = 0 ) mamy osobliwość w postaci R = 0. Natomiast już dalsza ekspansja R(t) jest nieodwracalna (narastająca).

Graficznie zależność R(t) dla wszystkich trzech omówionych przypadków ilustruje poniższy rysunek.

Jak widać, wszystkie trzy rozwiązania zbiegają się w początkowej osobliwości R(t=0) = 0. W jej pobliżu nie można już zaniedbywać ciśnienia ośrodka, który przy tych gęstościach i temperaturach jest już ultra relatywistycznym gazem. Prześledzimy więc zachowanie się rozwiązań w tych warunkach.

gdzie energia ośrodka E = e V = r c²R³ (zaś e = r c² to gęstość energii). Równanie stanu gazu dla relatywistycznego przypadku ma postać

(22)

(23)

czyli e R⁴ = const. Zamiast równania (5) mamy więc teraz:

(24)

Taką właśnie postać na r musimy teraz wstawić do równania (4). Otrzymamy wówczas:

(25)

Dla przypadku k = 0 po prostym wycałkowaniu otrzymamy

(26)

(27)

Jest to bardzo ważna zależność, która przyda nam, się przy opisie wczesnych etapów ewolucji wszechświata. Odnotujmy tu jednak, że uwzględnienie ciśnienia gazu nie chroni rozwiązań kosmologicznych przed osobliwością w chwili t = 0.

Powrot do strony KOSMOLOGIA