Odkryte przez Hubble’a prawo ekspansji wszechświata: v = H*d sugeruje natychmiast, że istnieje pewna maksymalna odległość ‘d’ , przy której prędkość oddalania się obiektów równa się prędkości światła (v = c) . Gdyby parametr Hubble’a był wielkością stałą w czasie (H = H_o) to obliczenie owej maksymalnej odległości byłoby trywialne . Wiadomo jednak, że H = H(t) i trzeba ten fakt uwzględniać.

W rozdziale "Prawo Hubble’a” przedstawiona była formuła Mattiga określająca obecną odległość ‘d_o’ do obiektu o przesunięciu ku czerwieni równym ‘z’. Dla wszechświata o geometrii euklidesowej formuła ta miała postać:

Gdy to a tym samym . Jednocześnie w rozdziale “Kosmologiczne rozwiązania równań Einsteina” mieliśmy dla wszechświata “płaskiego” zależności: oraz . Dla chwili obecnej t = t_o , H(t_o) = H_o otrzymamy . I to właśnie jest odległość do horyzontu kosmologicznego w euklidesowym wszechświecie. Nazywa się go horyzontem cząstek, od których w chwili t_o możemy otrzymywać sygnały świetlne.

Aby rozwiązać zagadnienie horyzontu dla modeli wszechświata o innych typach geometrii (hipersferycznej lub hiperboloidalnej) rozważmy sygnał świetlny wysłany z odległej galaktyki o współrzędnych w chwili t₁ i odebrany przez obserwatora w punkcie w chwili t_o . Przyjmijmy dla prostoty, że sygnał ten biegnie tylko wzdłuż współrzędnej radialnej czyli . Wówczas interwał czasoprzestrzenny pomiędzy wysłaniem i odbiorem tego sygnału świetlnego można zapisać:

Postać funkcyjna R(t) zależy od rozważanego modelu kosmologicznego a więc od wartości parametru ‘k’.

Zbadajmy teraz zachowanie się naszych całek, gdy chwila czyli do początku ekspansji. Gdy całka jest skończona i równa np. C_o to również całka z prawej strony musi dawać w wyniku tę samą wartość liczbową C_o. Musi więc wtedy istnieć górna granica tej całki - , przy której:

Właśnie ta wartość granicy całkowania jest radialną współrzędną horyzontu cząstek, natomiast odległość do tego horyzontu w chwili t_o wynosi:

(5)

Wstawiając ten wynik do (5) przy wykorzystaniu (6) dostaniemy odległość do horyzontu - czyli tak jak z formuły Mattiga. Zwróćmy jeszcze na koniec uwagę, że rozmiar horyzontu rośnie tu szybciej niż ekspansja wszechświata a więc z biegiem czasu coraz większy obszar wszechświata staje się dostępny obserwacjom z wybranego miejsca r_o . Po nieskończenie długim czasie obserwowalny może być (w modelu płaskim) cały wszechświat.

W modelu o geometrii hipersferycznej mamy skończoną objętość wszechświata i do chwili t = t_max , w której wszystkie odległości osiągają maksimum (R(t_max) = R_max) w zasięgu horyzontu znajdzie się cała przestrzeń takiego wszechświata. Następnie, w fazie kurczenia się przestrzeni, obserwator w punkcie ‘r_o’ najdalsze obiekty będzie widział “podwójnie” - czyli z dwóch przeciwnych kierunków. Będą to obiekty położone wokół “antypodów” obserwatora i obszar ten będzie stopniowo narastał.

Przypomniano już tu powyżej, że tzw. “obecna” odległość d_o obiektu o przesunięciu ku czerwieni równym ‘z’ wyraża się formułą (1) : zaś odległość w chwili emisji widocznego dziś światła d₁ równa jest . Gdy światło biegnie od obiektu ku nam jednocześnie trwa ekspansja kosmologiczna. Rozważajmy przykładowo nadal model “płaski”, dla którego prawo ekspansji wyraża się formułą (6) przy czym zawsze spełniona jest formuła na “poczerwienienie kosmologiczne” R_o = R(1+z) (indeks “o” odnosi się zawsze do chwili obecnej). Podstawiając tą zależność do (6) otrzymamy

Jednocześnie w modelu płaskim mamy znane już związki: oraz , które wstawione do (8) pozwalają powiązać ‘z’ z wiekiem wszechświata ‘t’ w chwili emisji widocznego dziś światła:

Światło biegło więc od obiektu do “nas” przez czas i przebiegło dystans

Odległość ta nazywana bywa “odległością własną” (proper distance) obiektu o przesunięciu kosmologicznym ‘z’. Jest to jeszcze jeden rodzaj określania odległości obiektów w kosmologii oprócz wprowadzonych wcześniej definicji d_o oraz d₁ .

Wróćmy jeszcze raz do wielkości . Zapiszmy ją w postaci jawnej

Promień horyzontu R_H w chwili ‘t’ jest R_H(t) = 3ct co biorąc pod uwagę (9a) pozwala napisać

i dla z>3 mamy d₁>R_H , czyli obiekt taki był w chwili emisji widocznego dziś światła poza “naszym” ówczesnym horyzontem kosmologicznym (ściślej mówiąc - poza horyzontem miejsca o naszych stałych współekspandujących współrzędnych). Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami rozmiar horyzontu narasta jak zaś tempo ekspansji jest (czyli wolniejsze) więc obiekt ten w chwili obecnej t_o jest już w naszym zasięgu widoczności (choć widzimy światło sprzed wielu, wielu lat).

Łatwo też sprawdzić, że funkcja d₁(z) z formuły (11) ma ekstremum dla z = 1.25 .

Prześledzimy to w poniższej tabelce (biorąc przykładowo t_o = 10 mld. lat).

Jak wiadomo, rozmiar kątowy obiektu, Df, (np. galaktyki) o pewnych ustalonych rozmiarach liniowych ‘l’ zależy od odległości, z której go oglądamy - im dalsza odległość tym mniejszy rozmiar kątowy. Liczy się tu jednak odległość w chwili wysłania widocznego potem światła albowiem ten obraz później zobaczy obserwator. W sytuacji kosmologicznej naszą podstawową obserwablą jest wielkość ‘z’. Początkowo, dla z<=1 faktycznie ze wzrostem z narasta odległość d₁ a więc średni (typowy) rozmiar kątowy galaktyki maleje ze wzrostem ‘z’. Jednak począwszy od wielkość d₁ znowu maleje a to oznacza, że rozmiar kątowy rośnie. Odległość d₁ określona formułą (11) nazywana bywa “odległością kątową” obiektu właśnie ze względu na jej związek z kątowymi rozmiarami obserwowanego obiektu. Przytoczyliśmy tu rozwiązanie dla modelu płaskiego (k=0). Podobny jakościowo efekt zachodzi także dla modeli hipersferycznych (k=+1) oraz hiperboloidalnych (k=-1).

Jednak metoda powyższa znalazła pewne zastosowanie przy analizie fluktuacji promieniowania reliktowego (patrz rozdział - “Era dominacji promieniowania"). Promieniowanie reliktowe jest “obiektem” o największej wartości ‘z’ (rzędu z=1000) i wykazuje fluktuacje temperatury na poziomie . Analizowano bardzo starannie rozmiary kątowe tych fluktuacji (a ściślej - widmo tych rozmiarów kątowych). Można teoretycznie (przy pewnych rozsądnych założeniach) określić jakie rozmiary kątowe Df fluktuacji powinny dominować w zależności od geometrii wszechświata. Dla modelu płaskiego powinno to być . I taki właśnie rezultat otrzymano z analizy danych dla promieniowania reliktowego. Jak więc widać, tzw. “odległość kątowa” okazała się wielce przydatną wielkością i pozwoliła na stwierdzenie, że - z dużym poziomem ufności - wszechświat jest płaski.

Powrot do strony KOSMOLOGIA